Clase 13

Geometría Analítica
Puntos y Figuras en el Plano Cartesiano

Habilidades Específicas:

1. Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.

1. Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento.

1. Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.

Primero, veamos algunas definiciones importantes:

1. Plano Cartesiano:

Es un sistema de ejes coordenados donde se dispone de una recta horizontal llamada "eje x" o "eje de las abscisas" y una recta vertical llamada "eje y" o "eje de las ordenadas". Estos ejes están colocados de tal forma que se intersecan perpendicularmente.

Estas rectas dividen el plano en cuatro cuadrantes, como se observa en la gráfica.

¡Observa el siguiente video!, te brindará un dato curioso sobre el origen del Plano Cartesiano.

¡No te tomará más de un minuto y dos segundos! 

Cada uno de los ejes del plano cartesiano se asocian con una recta numérica, como se presenta a continuación:

Observe que: 

• En el I Cuadrante, todas las "x" son positivas y todas las "y" son positivas.
• En el II Cuadrante, todas las "x" son negativas y todas las "y" son positivas.
• En el III Cuadrante, todas las "x" son negativas y todas las "y" son negativas.
• En el IV Cuadrante, todas las "x" son positivas y todas las "y" son negativas.

Ahora, podemos establecer una relación entre ambas rectas. Por ejemplo, observe los puntos A, B, C y D:

Cada valor del eje x, se puede asociar con un valor del eje y. 

Esta relación se establece a través de Pares Ordenados.

2. Pares Ordenados: 

Es un punto geométrico que se coloca en el plano cartesiano, donde la primera coordenada se ubica en el eje x y la segunda coordenada en el eje y. Algebraicamente se expresan de la forma: 

Por ejemplo: 

Observe el plano cartesiano anterior.

• El punto A corresponde a la coordenada en x = -2 y la coordenada en y = -1, entonces, este par ordenado es       A= (-2,-1).
• El punto C corresponde a la coordenada en x = 1 y la coordenada en y = 3, entonces, este par ordenado es         C = (1,3).
• El punto B corresponde a la coordenada en x = 0 y la coordenada en y = 1, entonces, este par ordenado es          B = (0,1).
• El punto D corresponde a la coordenada en x = 2 y la coordenada en y = 0, entonces, este par ordenado es        D = (2,0).
• El punto de intersección entre el "eje x" y el "eje y" es  (0,0); este punto es llamado "Origen".

¡Viste que simple!

Ahora, imagine que conectamos diferentes puntos ubicados en plano cartesiano. 

De esta manera, podemos ubicar figuras geométricas como los cuadrados, los romboides, los triángulos, entre otros; sobre el plano.

Por ejemplo: 

Observe el siguiente plano

Los pares ordenados A, B, C y D, corresponden a los mismos pares ordenados que encontramos anteriormente. El punto E = (-3,2).

Podemos decir que los puntos EAB corresponden a los vértices de un triángulo. También puede ser la figura EADC, que corresponde a un cuadrilátero, específicamente, observe que es un paralelogramo.

¡Un dato importante! 

Toda figura que vayamos a denotar a partir de los puntos que corresponden a sus vértices, debemos escribirlos en sentido antihorario, es decir, en contra de las manecillas del reloj. Esto también aplica cuando denotamos un ángulo a partir de tres puntos.

¡Por último!

Podemos identificar una figura en un plano y establecer puntos internos o externos a dicha figura. 

Por ejemplo:

Si tomamos en cuenta el mismo plano cartesiano anterior. Podemos escribir algunos pares ordenados exteriores al cuadrilátero EADC, entre ellos:

{(3, 3) , (1, 3.5) , (-3, 0) , (5, 12) , (-8, -49) , ...}

Piensa otros puntos externos al cuadrilátero.

Ahora, también podemos identificar algunos pares ordenados internos al cuadrilátero EADC, entre ellos:

{(-2, 0) , (1, 2) , (-1.5, 1) , (0, 0) , (0, 2) , ...}

También podemos identificar algunos pares ordenados internos al cuadrilátero EADC y externos al triángulo EAB, entre ellos:

{(-1, 2) , (-2, 2) , (0, 0) , (0,2) , (1, 1) , (-0.3, 1.2) , ...}

¡¡¡Listo!!!