Clase 7

 Rectas Paralelas y una Transversal

Habilidades específicas:

1.   Aplicar la relación entre las medidas de ángulos determinados por tres rectas coplanares dadas.

2.   Obtener y aplicar medidas de ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas, conociendo la medida de uno de ellos.

Para este apartado, teniendo claro los conceptos sobre los ángulos complementarios, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice. Vamos a determinar la medida de ángulos, dadas tres rectas coplanares.

Observe la siguiente figura que corresponde a tres rectas coplanares:

 

 

 Determine la medida de los ángulos. ∡α, ∡δ, ∡ρ, ∡ε, , ∡ϕ

Solución: Observe que el ángulo ∡β es un ángulo recto, es decir, su medida es de 90°.

Ahora el ángulo ∡ϕ=90° ya que es opuesto por el vértice con el ángulo ∡β.

Por su parte como el ángulo ∡α=38° entonces el ángulo ∡ρ=52° porque es complementario al ángulo ∡α.

Además el ángulo ∡ε=38° ya que es opuesto por el vértice con el ángulo ∡α.

Finalmente el ángulo ∡δ=52° porque es opuesto por el vértice con el ángulo ∡ρ.

 

Observe la siguiente figura que corresponde a tres rectas coplanares

Determine la medida de los ángulos. ∡α, ∡δ, ∡ρ, ∡ε, ∡λ, ∡ϕ

Solución: Vamos a determinar la medida de cada uno de los ángulos, teniendo en cuenta los conceptos de ángulo adyacente, suplementario, complementario y opuesto por el vértice.

Entonces tenemos que el ángulo ∡α=135° ya que es opuesto por el vértice con el ángulo ∡β

El ángulo ∡δ=45° ya que es un ángulo suplementario con el ángulo ∡β, es decir

∡δ+∡β=45°+135°=180°

Por otra parte, el ángulo ∡ϕ=132° ya que es opuesto por el vértice con el ángulo ∡φ

El ángulo ∡H=48° ya que es un ángulo suplementario con el ángulo ∡φ, es decir

∡λ+∡φ=48°+132°=180°

Finalmente tenemos los ángulos ∡ε=90° ya que es un ángulo recto y ∡ρ=90° ya que es opuesto por el vértice con el ángulo ∡ε.

Recordemos que las rectas paralelas son aquellas rectas que van en la misma dirección y no tiene intersección (no se cortan).

Ahora supongamos que tenemos una recta que corta a las rectas paralelas como se muestra en la siguiente figura.

Dicha recta se conoce como RECTA TRANSVERSAL. Gracias a esta recta tenemos varias propiedades con los ángulos, a continuación, se explica cada uno de los ángulos que se forman.

 

Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos ángulos que están opuestos entre sí donde se cruzan dos líneas rectas, como se muestra en la siguiente figura. Estos ángulos tienen la misma medida.

 m∡α=m∡β

Ángulos alternos internos: Son aquellos ángulos que se encuentran a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Son alternos internos el ∡α y ∡θ además son de igual medida.

Ángulos correspondientes: llamamos ángulos correspondientes a los que están situados al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Alternos externos: Son ángulos alternos externos los que están en la parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Para el cálculo de ángulos en este tipo de situaciones, debemos tener muy claro cada uno de esos conceptos y determinar la medida de dichos ángulos.

 

Ejemplo #1 

 

Observe la siguiente imagen y conteste lo que se le solicita

 Calcule los ángulos ∡FGA, ∡AGH, ∡BGH, ∡GHD, ∡DHE, ∡CHE Y ∡GHC

 

Solución: Debemos utilizar las definiciones de ángulos alternos internos y externos, ángulos opuestos por el vértice, ángulos correspondientes y ángulos suplementarios para encontrar cada ángulo.

El único dato que tenemos es ∡BGF= 56° 

1.      Ahora, tenemos que el ángulo ∡AGH es opuesto por el vértice al ángulo ∡BGF, entonces también mide 56° ya que por ser opuestos por el vértice son congruentes.

2.      Luego, para el ángulo ∡FGA tenemos que es un ángulo suplementario de ∡BGF, es decir ∡FGA+∡BGF=180° por lo tanto el ángulo ∡FGA=124°

3.      Así, el ángulo ∡BGH=124° ya que es opuesto por el vértice con ángulo ∡FGA

4.      Por su parte, el ángulo ∡GHD es un ángulo correspondiente del ángulo ∡BGF y como los ángulos correspondientes son congruentes entonces ∡GHD=56°.

5.      Así, el ángulo ∡CHE=56° ya que es opuesto por el vértice con ángulo ∡GHD

6.      Por otra parte, el ángulo ∡GHC=124° porque es alterno interno con el ángulo ∡BGH y los ángulos alternos internos son congruentes,

7.      Finalmente, el ángulo ∡DHE es opuesto por el vértice con el ángulo ∡GHC por lo tanto ∡DHE=124°

Ejemplo #2. Observe la siguiente imagen.

 

Determine los ángulos α, β, θ, Ω, ψ, δ, ω

Solución:

El único ángulo que tenemos es ε=48°.

1.  Entonces el ángulo ∡α=48° esto porque en un ángulo opuesto por el vértice con el ángulo ∡ε

2.  Luego el ángulo ∡θ=132° ya que es suplementario con el ángulo ∡ε, es decir ambos ángulos suman 180°.

3.   Así el ángulo ∡β=132° por ser opuesto por el vértice con el ángulo ∡θ

4.  Para el ángulo ∡Ω tenemos que es un ángulo correspondiente al ángulo ∡ε por lo tanto son congruentes, por lo que ∡Ω=48°

5.   Por su parte el ángulo ∡δ=48° esto por ser opuesto por el vértice con el ángulo ∡ε.

6.   Por su parte el ángulo ∡ψ=132° porque es alterno interno con el ángulo ∡β.

7.   Finalmente, el ángulo ∡ω=132° por ser opuesto por el vértice con el ángulo ∡ψ.