Clase 10

Relaciones Métricas entre los Ángulos Internos y los Ángulos Externos de un Triángulo.

Habilidad Específica:

1. Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo, conociendo medidas de los otros ángulos. 

Si en la sección anterior vimos que la suma de la medida los ángulos ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

¿Cuánto crees que es el resultado de la suma de la medida de los ángulos externos de un triángulo?

Bueno, para contestar esa pregunta, primero debemos establecer una relación entre los ángulos internos y los ángulos externos de un triángulo.

Para esto, mira el siguiente triángulo:

Una pequeña observación: 

• Los ángulos internos son los que están coloreados con rosado.
• Los ángulos externos son los que están coloreados con azul.

Otras observaciones importantes:

• Cada ángulo interno comparte su vértice con un ángulo externo. Si sumamos la medida de estos dos, el resultado es igual 180° (un ángulo directo), así como podemos verlo en la figura.
• Observe que un ángulo interno con su respectivo ángulo externo se consideran ángulos suplementarios. Esto quiere decir que, podemos calcular uno de estos ángulos, si sabemos la medida del otro. 
• El método para realizar este cálculo, puedes verlo en la sección de Determinar Ángulos.

¡Hagamos un ejemplo!

Considere el siguiente triángulo:

1. Calculemos el valor de ángulo externo suplementario a B.

Solución:

Primero, calculemos el valor del ángulo:

Ahora, vamos a utilizar el Teorema de la Suma de los Ángulos Internos para calcular B

Resolviendo la ecuación: 

Finalmente, calcularemos el ángulo externo suplementario al ángulo interno B que llamaremos B'

2. Calculemos el valor de del ángulo externo 

Solución:

Establezcamos y resolvamos la ecuación que necesitamos para encontrar el ángulo:

¡Finalemente!

Para responder la pregunta inicial:

¿Cuánto crees que es el resultado de la suma de la medida de los ángulos externos de un triángulo?

Vamos a establecer y refrescar algunas ideas:

1. Un triángulo tiene tres ángulos internos y, por consiguiente, podemos identificar  al menos tres ángulos externos.
2. Cada ángulo interno posee un ángulo externo suplementario.
3. Si sumamos la medida de un ángulo interno con su respectivo ángulo externo el resultado es 180°.

Entonces, si sumamos los tres ángulos directos, es decir, el ángulo interno y el ángulo externo de cada vértice, el resultado sería 

180° + 180° + 180° = 540°

Sin embargo, aquí estamos considerando todos los ángulos internos con su respectivo ángulo externo suplementario. 

Recordemos que la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. 

Por esto, si restamos 180° a 540°, el resultado consideraría solamente la medida de los ángulos externos. 

Matemáticamente, 

540° - 180° = 360°

Por tanto, podemos concluir que la suma de le medida de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.